O Klasik Matematik Kanıtları

Hiç şu klasik 1=2 tarzı matematik kanıtlarından birine denk gelmiş miydiniz? Ben ara ara karşılaşıyorum ve her seferinde de kendimi büyüsüne kaptırmaktan kurtaramıyorum. Neden mi? Haydi beş dakikanızı rica ederek bana ayırmanızda ısrarcı olayım ve size de anlatayım.

a,b rastgele gerçel sayıları ifade eden birer sembol olarak varsayılsın, a=b diyelim. ardından da iki tarafı da kendisiyle çarparak a²=ab değerini yazalım, ardından iki taraftanda kendisiyle çarpılmış hallerini çıkaralım a²-b² = ab-b², şimdiye kadar hiçbir problemimiz yok, değil mi?

Süper… Devam edelim. a²-b² ifadesinin basit bir açılımını yaparak (a-b)(a+b) şeklinde yazalım; ab-b² ifadesini de yine basit bir sadeleştirme ile b(a-b) şeklinde yazalım ve sonuç olarak (a-b)(a+b)=b(a-b) karşımıza çıkıyor. Aranızda birkaç kişi şimdiden rahatsız olmuş olabilir burasından sonra ama biz devam edelim ve eşitliğimizin sadeleştirmelerini de yapalım. (a-b)(a+b)=b(a-b) iki taraftan da belirttiğimiz ifadeleri çıkararak a+b = b ifadesine ulaşmış oluyoruz.

Şimdi bunu bir kere daha sadeleştirelim (a=b → a+b= b+b=2b) → a+b=b ifademiz 2b=b olarak karşımıza çıkıyor, ifadeden b sembol değerlerini de çıkarttığımızda 2=1 gibi bir sonuca varıyoruz,

Peki, Nasıl?

İfadeden (a-b) değerlerini sadeleştirirken yaptığımız küçük fakat kendi koyduğumuz kurallara uymayan bir detay var, 0 ile bölmek. Siz sormadan söyleyeyim a=b → a-b=0 olarak her daim karşımıza çıkacak. Peki bütün bunları anladığımızı var sayalım, ya sıfır ile bölebiliyor olsaydık? Bununla ilgili muhteşem eğitim videoları ve TED konuşmaları mevcut fakat ben skolastik veya akademik bakış açılarından uzak bir şekilde kendi bakış açım ile anlatmaya çalışacağım.

İlk olarak metamatikte yaptığımız her bir işlem 2. sınıfta öğrenilen sayı doğrusunda operatörler ile yapılan manipülasyonlardır. Yani şöyle diyelim 1+0=1 çünkü 1 sayısını yol kat etme manasında bir değişkeni olmayan 0 ile operasyona sokuyorsunuz. Kısacası 1 ifadesine 0 kadar yol aldırıyorsunuz. 1–0=1 de de yapılan aynı mantık fakat negatif(-) ifadesiyle asıl kastettiğimiz şey yönümüzün diğer tarafa döndüğü. Çarpma ve bölme işlemleri ise bu sayı doğrusu üzerinde belli uzaklıkların birbirine olan mesafeleri ile hesaplanıyor; 0–2 arasındaki mesafe de 2, 2–4 arasındaki mesafe de dolayısıyla 2×2 dediğimizde 2 kere art arda sayı doğrusuna bakış açımızı genişletiyor ve 0+2 işlemini yapıyoruz ve sonuç yaptığımız manipülasyonlar ile 0+4 işlemine dönüşmüş oluyor ki fark ettiyseniz işlem önceliği diye öğretilen şey de budur.

Şimdi daha da teknik kısmına girelim, bir sayıyı bölmek eğer çarpmanın tersi ise, bunun çarpmada da bir ifade şekli olmalı ki biz buna “çarpma işlemine göre tersi” diyoruz. bu x.1/x (ör. 2.1/2=1) ifadesi ile her daim sonuçta 1 elde edebileceğimiz anlamına geliyor. Bir de bölme işlemi var, herhangi bir sayıyı kendisine böldükten sonra 1 elde ettiğimiz gibi kendisinden sıfıra doğru daha da küçük sayılarla böldüğümüzde gittikçe artan sonuçlar elde ederiz. Bu da bir bakıma sayının sonsuza yaklaştığı anlamına gelir, fakat neden sıfıra(0) bölününce sonsuz elde edilemez?

Çünkü sıfır sonsuzun çarpmaya göre tersi olurdu ki bu da 0x∞=1 anlamına gelirdi. Tamam burada da bir sorun yok, o zaman 1+1 gibi basit bir manipülasyonu bu eşitlikle de sağlayalım; (0x∞)+(0x∞)=2 ardından bu karmaşık ifadeyi sadeleştirmeye çalışalım ∞(0+0)=2 → (∞)0=2 ifadesinde sonuç alıyoruz. Bütün bu varsayımlardan sonra yine de bir şey gözünüze çarptı, değil mi?

Sıfır çarpı sonsuz ifadesinden alacağımız sonuç 1 (Sıfır ve sonsuzun çarpma işlemine göre ters ifadeler olduğunu kabul ettiğimiz için) ve işte tam olarak burada 1=2 ifadesini yani (0x∞)+(0x∞)=(∞)0 → 2=1 i buluyoruz. Fakat şimdi çok büyük bir sorunumuz var çünkü yaptığımız varsayımda kullandığımız geometri, Euklides(öklid) geometrisiydi. Bu geometri düz bir zemin üzerinden hesaplanır ve düşündüğümüz en basit geometridir fakat tek bir eksik yanı vardır, merkezini çok daha sonradan keşfedilen 0 sayısına odaklamıştır ve diğer her türlü manipülasyonu da bu sayıya olan uzaklıklar iledir.

Bizim bulduğumuz 1=2 durumunu ne yazık ki Euklides geometrisinde (bir doğruya, doğru üzerinde olmayan bir noktadan sadece bir paralel doğru çizilebileceği varsayılarak) geçerli değildir. Bunu sağlayan geometri (daha doğrusu uzaylar) da bulunuyor fakat bu aynı onluk sayı sistemi dışında da sayı sistemleri bulunmasına rağmen bizim işimize daha fazla yaramadığından kullanmadığımız uzay ve sistemler arasındalar.

Peki bu sistemler hiç mi işimize yaramadı? Sorunun kısa cevabı evet, uzun cevabı ise şu;

Alman matematikçi Riemann’ın kendi adıyla oluşturduğu geometrisi ondan yaklaşık 70 yıl sonra hepimizin tanıdığı başka ünlü bir Alman tarafından, Albert Einstein, kendi teorilerinin tespit ve ispatında kullanıldı.

“Riemann’ın bu çalışmasından haberim olmasaydı görelilik kuramını hiçbir zaman geliştiremeyecektim”

-Albert Einstein

Tüm bunlardan yola çıkarak aslında Euklides geometrisinin uzay-zaman-evren vb. kavramlarda çok da işimize yarayamayacak durumda olduğunun fakat kendisinin “Elemanlar” kitabında verdiği önermelerin beşincisi de dahil olmak üzere yanlış olmadığı sadece yaklaşık 2.300 yıl sonra kendi zamanının ardından kanıtlanabildiği gibi durumlar söz konusu.

Ayrıca Euklides geometrisi haricinde dünya üzerinde yaygın olarak kullandığımız diğer bir geometri de yine Reimann geometrisi, uçakların dünya üzerinde uçarken düz bir rotadan ziyade eliptik bir rota çizmeleri de bundan dolayıdır.

Mert ÖZBAY

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap /  Değiştir )

Google fotoğrafı

Google hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap /  Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap /  Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap /  Değiştir )

Connecting to %s

%d blogcu bunu beğendi: